着色版本和密度版本非常相似，但它们在一个非常重要的方面却有所不同。在着色问题中，整个数集A被分成了不同的“桶”，具体的分割方法并不重要。数学家要证明的是，有一个“桶”里的数字满足条件。这正是Croot在论文里构建的证明，表明了至少会有一个“桶”里包含足够多具有低素因子的数字，用数学术语来说就是光滑数（smooth number），从而满足定理。
这可以看作证明的一条捷径，但在密度版本中，这样的捷径并不存在。当Bloom看到这篇证明后，却认为这种方法要比人们普遍认为的更强，那实际上证明了密度问题的一个特例。Bloom谦虚地表示，他所做的“只是又推了一下那扇已经打开的门”。
粗略来说，先前的证明依赖于一类被称为指数和的整数。指数和可以分成两个部分，分别是优弧贡献，也就是我们可以明确计算并且很大的部分，以及劣弧贡献，也就是我们不知道如何计算，但能证明很小的部分。
先前证明的巧妙之处在于，Croot想到了一种思考劣弧贡献的新方法，把它变成了一类不同的问题。他没有试图计算数值，而是研究了这个集合中倍数是如何沿着数轴分布的。
在此基础上，Bloom将它进一步改进成适用于密度版本，进行了更多“局部”处理。在Bloom的新论文中，他将自己的方法解释为“Croot引入的方法的一种更强形式”。
同时，Bloom没有直接寻找倒数之和为1的答案，而是先找到了倒数相加更小的数集，然后再把它们当作“零件”，最终构建出想要的答案。这进一步帮助简化了过程。
Bloom的新证明受到了许多数学家的赞赏，但这显然不是数集与和的问题探索的终点。
数论一直在寻找数字中的隐藏结构。当数论学家遇到一种似乎无可避免的数字模式时，他们会不断测试这种模式的稳定程度，探索它的边界和极限，从而挖掘出埋藏在数字中的新信息。
在过去20年间，组合与分析数论都有了很大发展，让数学家能够以全新的视角看待许多古老的问题。同时，在计算机的帮助下，以更严格的方式检验证明也成为可能。
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