但当他们发表了这个篇论文后，就有人一马当先开始抨击，说这显然不正确吧。
如果一个实心球体积为V（因为球的半径是1，所以V > 0），那么五个等分块，每块体积为V/5，平移旋转不改变体积，那么无论它们如何组合，最后得到的东西总体积是V，而不可能是2V。
因为，这个论述是基于这么一个假设：
每一个分块都是有“体积”的。而分球定理的理论之处就在于它把球分成了五个“不可测集”——也就是五个“无法定义体积”的奇怪分块。所以，这里我们说“五等分”只是说它们其中一块平移旋转后能重合到另一块上，并不是说它们“体积相等”——因为根本就没有体积，也就没有相等之说。
其实巴拿赫-塔斯基在证明结论的时候主要用到的就是集合论中的选择公理。
通俗一点的说，选择公理可以这么描述：
用任意一组（可能有不可数无限个）非空集合，我们都可以从每个集合挑出一个元素。
看上去非常“无辜”啊——这不就是典型的“正确的废话”么——所以它被叫做“公理”。可是就是这么一个公理，却是魔力惊人，能让我们把实心球一个变俩。这就是数学的魅力！
其实数学家们一开始发现这个结论也觉得这不太可能，包括塔斯基本人也是想利用这个定理来展示出选择公理中存在的某些先天不足，也就是说他们最先想责怪的就是选择公理.
如果放到现在估计一大半的数学家会晕倒！因为他们学的东西里面有太多的定理都是在选择公理的基础上证明的，现在大多数数学家还是承认选择公理的。
但其实我们还忽略了一个问题:?3的子集的体积该怎么定义?
回到“分球定理”中，只有那些比较漂亮的子集我们才给它们定义了体积，比如:一个球，一个立方体等等。如果是一些杂乱无章的点构成的子集，是很难定义其“体积”的。
分球悖论的奥妙之处就在于，将一个球分成几个部分的时候，很多部分都是一些“非常难看”的子集，它们是没有“体积”的.也就是说最终把一个球分成了几个没有“体积”的部分，然后把它们平移、旋转后反而成了两个同等大小的球！
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