韦伊把有限域继续缩小，发现只找到几个非平凡零点，倒是在一个直线上，但是那不能满足他的求知欲。
他继续开始了适当的扩大，发现不论如何大，大到他好几天算下来，非平凡解还在一条线上的时候。他突然觉得，应该让自己找到一个普遍的东西来证明有限域的情况都是复合的。
这就需要群论了一些表示的知识了，然后他表示出一个公式来，让这个公式能做一个数学归纳法一般的推广，就可以一举攻克这个问题了。
他发现如果让有限域变得普遍化，这个问题就变成了在椭圆曲线上证明里面猜想是如何的。
为了证明有限域上的黎曼猜想，韦依需要使用经典的代数几何方法，所以他必须先解决经典代数几何的概念模糊不清、理论基础不稳的严重问题。
为此他在1946年专门写了一本专着《代数几何基础》，在其中韦依仿照微分流形的定义，首先提出了内蕴的抽象“代数簇”的定义，他用有理函数作为转换函数，将局部的比较简单的仿射代数簇粘贴在一起，成为了一个抽象的代数簇，从而彻底摆脱了外在射影空间的束缚，极大地扩展了代数几何的适用范围。韦依用交换代数的语言，重新引入了代数几何中的一批重要的概念，包括闭链、一般点、特殊化、相交重数和曲面上的对应等。
1946年，在上述这本书出版之后不久，韦依终于证明了他的关于有限域上代数曲线的黎曼猜想。然后在1948年，韦依根据他对阿贝尔簇和格拉斯曼簇(Grassmann variety)等高维代数簇在有限域上的点数所做的计算结果，提出了高维代数簇上与黎曼猜想类似的“韦依猜想”。
这个猜想充分显示了在有限域上代数簇的算术(arithmetic，即数论)与复数域上的代数簇的拓扑之间具有非常深刻的内在联系。
他果然找到了这个方式，而且证明了有限域的黎曼猜想问题。
他不敢相信这个清晰的结构是如此的振奋人心，还在想方设法在其中找各种各样的漏洞。结构发现自己的证明过程是严谨的，没有任何漏洞。
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