当属于一个变量的相继大的值无限地趋近某个固定值时，如果最终固定值之差可以随意地小，那么这个固定值就称为所有这些值的极限。
然而柯西的极限思想并不是没有缺陷的。极限理论在当时还只能说是“比较严格”，人们不久便发现柯西的理论实际上也存在漏洞。例如，他用了许多“无限趋近”、“想要多小就多小”等直觉描述的语言。
我们在这里不得不提到另外一位传奇的分析学大师——魏尔斯特拉斯。
为什么极限理论的建立需要实数理论？
我们不妨开门见山，首先要问——我们的连续性是否需要实数？柯西列极限的存在性是否需要实数？零点定理的保证是否也需要实数？
如果数系不是连续的，是离散的，那么某些数列的极限是否存在就值得怀疑。
我们知道，现代的极限定义是用实数来定义一个数列的极限值的。但是对于有理柯西列，放在有理数域，它的极限值就不一定存在。
另外，我们考虑介值定理，最简单的就是零点存在定理。想象一下一条曲线穿过数轴，直观的判断必然会有零点存在吗？我们说，当然，怎么可能没有零点存在呢。不过，我们这里已经默认这样一条数轴是连续的，这里就要纠结一下，这里的数是什么，是单纯的有理数嘛？这时还没有实数。
因为有理数尽管是稠密的，但它是离散的，而且无理数还没有被严格定义。如果不严格定义实数，不是放在实数系去考虑，那么单纯借助极限理论我们无法得到这样美妙且直观的定理。
我们不禁要大声疾呼：
连续性需要实数的严格定义！
柯西列极限的存在需要实数的严格定义！
零点定理的保证也同样需要实数的严格定义！
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